미적분 예제

$y = \frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.2.2

$\sin (x) + \cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.2.3

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.2

$- x (- \sin (x))$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + 1 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.4

$- x \cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \cos (x)) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.5

$x \sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \cos (x)) - (- x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.6

$- (x \cos (x)) - (- x \sin (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.7

$\sin (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x)) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.8

$- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) + \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.9

$\cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.10

$- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.11

$- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ 을 $- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$