미적분 예제

$y = 3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 \ln (x)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

단계 3.2.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

단계 3.2.3

$3$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5}{x^{4}}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 입니다.

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.3.2

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

단계 3.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{x} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{x} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.3.3.3

$u$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.3.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

단계 3.3.5

${(x^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

단계 3.3.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

단계 3.3.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

단계 3.3.7

지수를 더하여 $x^{- 8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

단계 3.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{3 - 8})$

단계 3.3.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 5})$

단계 3.3.8

$- 4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{x} + 20 x^{- 5}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{3}{x} + 20 \frac{1}{x^{5}}$

단계 3.4.2

$20$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$