미적분 예제

$y = \frac{x + y}{x - y}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x + y$ , $g (x) = x - y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.7

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - y) (1 + y')$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1.2.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x - y) (1 - y')$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.4.2

$- x (- y')$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.4.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.4.4

$- y (- y')$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1.4.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.1.4.4.2

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.2

$x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.2.2

$x y' - y - y y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.2.3

$- y y'$ 를 $y y'$ 에 더합니다.

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.2.4

$x y' - y + x y' - y$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.3

$x y'$ 를 $x y'$ 에 더합니다.

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.2.4

$- y$ 에서 $y$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.3

$2 x y' - 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1

$2 x y'$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.3.2

$- 2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

단계 3.8.3.3

$2 (x y') + 2 (- y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

양변에 ${(x - y)}^{2}$ 을 곱합니다.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

단계 5.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

${(x - y)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

단계 5.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

단계 5.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

단계 5.2.1.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

단계 5.2.1.3.2

$x$ 를 옮깁니다.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

단계 5.3

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$y'$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

방정식의 양변에서 $2 y' x$ 를 뺍니다.

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.1

${(x - y)}^{2}$ 을 $(x - y) (x - y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - y) (x - y)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.3.1.4

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.3.1.4.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.3.1.4.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.3.1.6

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.3.2

$- x y$ 에서 $y x$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.2.3.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.3.2.2

$- x y$ 에서 $x y$ 을 뺍니다.

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.1.2.5

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.2

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$y' x^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.2.2

$- 2 y' x y$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.2.3

$y' y^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

단계 5.3.2.4

$- 2 y' x$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

단계 5.3.2.5

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

단계 5.3.2.6

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

단계 5.3.2.7

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

단계 5.3.3

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ 의 각 항을 $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ 의 각 항을 $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

단계 5.3.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

단계 5.3.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

단계 5.3.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$