미적분 예제

$x + y - 1 = \ln (x^{2} + y^{2})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x + y - 1) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x + y - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + y' + 0$

단계 2.5

$1 + y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 + y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 3.1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

단계 3.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

단계 3.5.2

$2 x + 2 y y'$ 에 $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

단계 3.5.3

$2 x + 2 y y'$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

단계 3.5.3.2

$2 y y'$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

단계 3.5.3.3

$2 (x) + 2 (y y')$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 + y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

양변에 $x^{2} + y^{2}$ 을 곱합니다.

$(1 + y') (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 (x^{2} + y^{2}) + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

단계 5.2.1.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

단계 5.2.1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

단계 5.2.1.1.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.1.1

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

단계 5.2.1.1.2.1.2

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} + y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

단계 5.2.1.1.2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.2.2.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

단계 5.2.1.1.2.2.2

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

$x^{2} + y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

단계 5.2.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 (x + y y')$

단계 5.2.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

단계 5.2.2.1.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.3.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y' y$

단계 5.2.2.1.3.2

$2 x$ 와 $2 y' y$ 을 다시 정렬합니다.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 y' y + 2 x$

단계 5.3

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $2 y' y$ 를 뺍니다.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x$

단계 5.3.2

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2}$

단계 5.3.2.2

방정식의 양변에서 $y^{2}$ 를 뺍니다.

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

단계 5.3.3

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$y' x^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

단계 5.3.3.2

$y' y^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

단계 5.3.3.3

$- 2 y' y$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

단계 5.3.3.4

$y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

단계 5.3.3.5

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

단계 5.3.4

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ 의 각 항을 $x^{2} + y^{2} - 2 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ 의 각 항을 $x^{2} + y^{2} - 2 y$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

단계 5.3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

$x^{2} + y^{2} - 2 y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

단계 5.3.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

단계 5.3.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

단계 5.3.4.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

단계 5.3.4.3.2

하나의 분수로 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{2 x - x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

단계 5.3.4.3.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$