미적분 예제

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.1.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 2.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

단계 2.4

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $y^{2} + \frac{π}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

단계 3.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

단계 3.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$\frac{π}{4}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $\frac{π}{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{π}{4}$ 입니다.

$2 y y' + 0$

단계 3.3.2

$2 y y'$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 y y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

다시 씁니다.

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

단계 5.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

단계 5.1.3

$1 + y'$ 에 $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

단계 5.2

$y'$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $2 y y'$ 를 뺍니다.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

${(x + y)}^{2}$ 을 $(x + y) (x + y)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

단계 5.2.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + y) (x + y)$ 를 전개합니다.

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단계 5.2.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

단계 5.2.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

단계 5.2.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

단계 5.2.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

단계 5.2.2.3.1.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

단계 5.2.2.3.2

$x y$ 를 $y x$ 에 더합니다.

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단계 5.2.2.3.2.1

$y$ 와 $x$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

단계 5.2.2.3.2.2

$x y$ 를 $x y$ 에 더합니다.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

단계 5.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2 y y'$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.4

$- 2 y y'$ 와 $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.6.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.6.2.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.6.2.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.6.2.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.6.2.2.2

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.6.2.3

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.6.2.3.1

$y^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.6.2.3.2

$y^{2}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.6.2.3.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.6.2.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.6.2.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.2.6.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

단계 5.3

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

단계 5.4

$y'$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.4.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

단계 5.4.2

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.2.1

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

단계 5.4.2.2

$- 2 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

단계 5.4.2.3

$- 2 y y' x^{2}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

단계 5.4.2.4

$- 4 y^{2} y' x$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

단계 5.4.2.5

$- 2 y^{3} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

단계 5.4.2.6

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

단계 5.4.2.7

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

단계 5.4.2.8

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

단계 5.4.2.9

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

단계 5.4.3

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ 의 각 항을 $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.4.3.1

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ 의 각 항을 $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

단계 5.4.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.2.1

$1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

단계 5.4.3.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

단계 5.4.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$