미적분 예제

$\ln (y) = e^{y} \sin (x)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (x))$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{y} y'$

단계 2.3

$\frac{1}{y}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y}$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = e^{y}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

단계 3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) e^{y} y'$

단계 3.5

항을 다시 정렬합니다.

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{y'}{y} = e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

양변에 $y$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

단계 5.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

단계 5.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$(e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y' = e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$

단계 5.2.2.1.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1.2.1

$e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = y e^{y} \cos (x) + y' y e^{y} \sin (x)$

단계 5.2.2.1.2.2

$y e^{y} \cos (x)$ 와 $y' y e^{y} \sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$y' = y' y e^{y} \sin (x) + y e^{y} \cos (x)$

단계 5.3

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $y' y e^{y} \sin (x)$ 를 뺍니다.

$y' - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.2

$y' - y' y e^{y} \sin (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.2.2

$- y' y e^{y} \sin (x)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.2.3

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.3

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

단계 5.3.4

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ 의 각 항을 $1 - y e^{y} \sin (x)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ 의 각 항을 $1 - y e^{y} \sin (x)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

단계 5.3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1

$1 - y e^{y} \sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

단계 5.3.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$