미적분 예제

$y = {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = 6 x^{3} + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 x^{3} + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

단계 3.1.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $6 x^{3} + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

단계 3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

단계 3.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

단계 3.5.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

단계 3.6

$\frac{3}{2}$ 와 ${(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $6 x^{3} + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 3.8

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{3}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 3.9

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

단계 3.10

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

단계 3.11

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2} + 0)$

단계 3.12

항을 간단히 합니다.

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단계 3.12.1

$18 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2})$

단계 3.12.2

$18$ 와 $\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{18 (3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

단계 3.12.3

$3$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

단계 3.12.4

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

단계 3.12.5

$54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

단계 3.13

공약수로 약분합니다.

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단계 3.13.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

단계 3.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

단계 3.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

단계 3.13.4

$27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

단계 3.14

$27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$