미적분 예제

$y = 7^{\sec (x)} + \ln (x^{3})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (7^{\sec (x)} + \ln (x^{3}))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $7^{\sec (x)} + \ln (x^{3})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [7^{\sec (x)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = 7^{x}$ , $g (x) = \sec (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

단계 3.2.1.2

$a$ = $7$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7^{u_{1}} \ln (7) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

단계 3.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

단계 3.2.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.1.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

단계 3.3.3

$3$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3}{x^{3}} x^{2}$

단계 3.3.4

$\frac{3}{x^{3}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

단계 3.3.5

$x^{2}$ 및 $x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.5.1

$3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

단계 3.3.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.5.2.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

단계 3.3.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

단계 3.3.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$7^{\sec (x)} \ln (7) \sec (x) \tan (x) + \frac{3}{x}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 7^{\sec (x)} \sec (x) \tan (x) \ln (7) + \frac{3}{x}$