미적분 예제

$y = e^{- 5 x^{9}}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- 5 x^{9}})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 5 x^{9}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 5 x^{9}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x^{9}]$

단계 3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x^{9}]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $- 5 x^{9}$ 로 바꿉니다.

$e^{- 5 x^{9}} \frac{d}{d x} [- 5 x^{9}]$

단계 3.2

미분합니다.

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단계 3.2.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{9}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{9}]$ 입니다.

$e^{- 5 x^{9}} (- 5 \frac{d}{d x} [x^{9}])$

단계 3.2.2

$n = 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{- 5 x^{9}} (- 5 (9 x^{8}))$

단계 3.2.3

$9$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$e^{- 5 x^{9}} (- 45 x^{8})$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$e^{- 5 x^{9}} (- 45 x^{8})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 45 e^{- 5 x^{9}} x^{8}$

단계 3.3.2

$- 45 e^{- 5 x^{9}} x^{8}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 45 x^{8} e^{- 5 x^{9}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - 45 x^{8} e^{- 5 x^{9}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - 45 x^{8} e^{- 5 x^{9}}$