미적분 예제

$y = \cos (\sqrt{6 t + 12})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{6 t + 12}$ 을(를) ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$y = \cos ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\cos ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))$

단계 3

$y$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$f (t) = \cos (t)$ , $g (t) = {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 4.2

$f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ , $g (t) = 6 t + 12$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $6 t + 12$ 로 바꿉니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $6 t + 12$ 로 바꿉니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(6 t + 12)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 12])$

단계 4.7.4

$\frac{1}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [6 t + 12]$

단계 4.8

합의 법칙에 의해 $6 t + 12$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [12]$ 가 됩니다.

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [6 t] + \frac{d}{d t} [12])$

단계 4.9

$6$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $6 t$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [12])$

단계 4.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [12])$

단계 4.11

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 + \frac{d}{d t} [12])$

단계 4.12

$12$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} (6 + 0)$

단계 4.13

항을 간단히 합니다.

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단계 4.13.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 6$

단계 4.13.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 6 \frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.13.3

$- 6$ 와 $\frac{\sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.13.4

$- 6 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.14

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.14.1

$2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 4.14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 4.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3 \sin ({(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}})}{{(6 t + 12)}^{\frac{1}{2}}}$