미적분 예제

$y = (4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ((4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1})$

단계 2

$y$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (t) = 4 t - 1$ , $g (t) = {(2 t - 2)}^{- 1}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 t - 1) \frac{d}{d t} [{(2 t - 2)}^{- 1}] + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.2

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = 2 t - 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 t - 2$ 로 바꿉니다.

$(4 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $2 t - 2$ 로 바꿉니다.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $2 t - 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 가 됩니다.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.3.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.3.5

$- 2$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + 0)) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.3.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \cdot 2) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

단계 3.3.7

합의 법칙에 의해 $4 t - 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 가 됩니다.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

단계 3.3.8

$4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $4 t$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

단계 3.3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

단계 3.3.10

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + \frac{d}{d t} [- 1])$

단계 3.3.11

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + 0)$

단계 3.3.12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.12.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \cdot 4$

단계 3.3.12.2

${(2 t - 2)}^{- 1}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + 4 \cdot {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 {(2 t - 2)}^{- 2} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{{(2 t - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

$2 t - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1.1

$2 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.2.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) + 2 (- 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.2.1.3

$2 (t) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{1}{{(2 (t - 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.2.2

$2 (t - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 2 \frac{1}{2^{2} {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2 \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.3.2

$4 {(t - 1)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- 1) \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.3.3

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.3.4

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.5.1

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.5.2

$2 {(t - 1)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.5.3

$4 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.5.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.5.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (2 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.6

$2$ 와 $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.8

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}}$ 와 $t$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.9

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.9.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + 1 \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.9.2

$\frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

단계 3.4.2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 t - 2}$

단계 3.4.2.12

$2 t - 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.12.1

$2 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) - 2}$

단계 3.4.2.12.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) + 2 (- 1)}$

단계 3.4.2.12.3

$2 (t) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t - 1)}$

단계 3.4.2.13

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.13.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 (2) \frac{1}{2 (t - 1)}$

단계 3.4.2.13.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2 (t - 1)}$

단계 3.4.2.13.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \frac{1}{t - 1}$

단계 3.4.2.14

$2$ 와 $\frac{1}{t - 1}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1}$

단계 3.4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{t - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{t - 1}{t - 1}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1} \cdot \frac{t - 1}{t - 1} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(t - 1)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$\frac{2}{t - 1}$ 에 $\frac{t - 1}{t - 1}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{(t - 1) (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.4.2

$t - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.4.3

$t - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} {(t - 1)}^{1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1 + 1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 t + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.1

$- 2 t + 2 (t - 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.6.1.1.1

$- 2 t$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- t) + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.6.1.1.2

$2 (- t) + 2 (t - 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- t + t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.6.1.2

$- t$ 를 $t$ 에 더합니다.

$\frac{2 (0 - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.6.1.3

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.6.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.8

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2 {(t - 1)}^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.8.1

$\frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 \cdot 2}{{(t - 1)}^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.8.2

${(t - 1)}^{2} \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 \cdot 2}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.10.1

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.10.2

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 3.4.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$