미적분 예제

$3 y^{2} = \frac{5 x - 4}{5 x + 4}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 4}{5 x + 4})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 y^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$6 y y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 5 x - 4$ , $g (x) = 5 x + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x - 4] - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $5 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{(5 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(5 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 x + 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(5 x + 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{(5 x + 4) (5 + 0) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(5 x + 4) \cdot 5 - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.6.2

$5 x + 4$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 \cdot (5 x + 4) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.7

합의 법칙에 의해 $5 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.8

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.10

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.11

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 + 0)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.12.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) \cdot 5}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.2.12.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 4)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x - 4)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

$5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 4$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$5 (5 x)$ 에서 $5 (5 x)$ 을 뺍니다.

$\frac{5 \cdot 4 + 0 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.3.1.2

$5 \cdot 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5 \cdot 4 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.3.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.2.1

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{20 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.3.2.2

$- 5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{20 + 20}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 3.3.3.3

$20$ 를 $20$ 에 더합니다.

$\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$

단계 5

$6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$ 의 각 항을 $6 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$ 의 각 항을 $6 y$ 로 나눕니다.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

단계 5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

단계 5.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

단계 5.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{6 y}$

단계 5.3.2

조합합니다.

$y' = \frac{40 \cdot 1}{{(5 x + 4)}^{2} (6 y)}$

단계 5.3.3

$40$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$40 \cdot 1$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{{(5 x + 4)}^{2} (6 y)}$

단계 5.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.2.1

${(5 x + 4)}^{2} (6 y)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 4)}^{2} (3 y))}$

단계 5.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 4)}^{2} (3 y))}$

단계 5.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{20 \cdot 1}{{(5 x + 4)}^{2} (3 y)}$

단계 5.3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

$20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{20}{{(5 x + 4)}^{2} \cdot 3 y}$

단계 5.3.4.2

${(5 x + 4)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$y' = \frac{20}{3 \cdot {(5 x + 4)}^{2} y}$

단계 5.3.4.3

$\frac{20}{3 {(5 x + 4)}^{2} y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{20}{3 y {(5 x + 4)}^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{20}{3 y {(5 x + 4)}^{2}}$