미적분 예제

$\int x^{11} e^{x^{12}} d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ 을 ${u_{1}}^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $10$ 을 묶습니다.

$\int {u_{1}}^{\frac{10}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4

$10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int {u_{1}}^{\frac{5}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.1.4.2.4

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2

${\sqrt{u_{1}}}^{12}$ 을 ${u_{1}}^{6}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 12}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $12$ 을 묶습니다.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{12}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2.4

$12$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.2.4.2.4

$6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2.3

$\frac{1}{2}$ 와 ${u_{1}}^{5}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{{u_{1}}^{5}}{2} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

단계 2.4

$\frac{{u_{1}}^{5}}{2}$ 와 $e^{{u_{1}}^{6}}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{{u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}}}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{5} e^{{u_{1}}^{6}} d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

${u_{1}}^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

단계 4.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1}$

단계 4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int {\sqrt{u_{2}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ 을 ${u_{2}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{2}}$ 을(를) ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.1.4

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.1.4.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.2

${\sqrt{u_{2}}}^{6}$ 을 ${u_{2}}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{2}}$ 을(를) ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $6$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.2.4

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.2.4.2.4

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 5.3

$\frac{1}{2}$ 와 ${u_{2}}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

단계 5.4

$\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ 와 $e^{{u_{2}}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}}}{2} d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

단계 7.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} e^{{u_{2}}^{3}} d u_{2}$

단계 8

먼저 $u_{3} = {u_{2}}^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = 3 {u_{2}}^{2} d u_{2}$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{3} = {u_{2}}^{2} d u_{2}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u_{3} = {u_{2}}^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

${u_{2}}^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}]$

단계 8.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {u_{2}}^{2}$

단계 8.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int e^{u_{3}} \frac{1}{3} d u_{3}$

단계 9

$e^{u_{3}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{3}}}{3} d u_{3}$

단계 10

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 \cdot 4} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

단계 11.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{12} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

단계 12

$e^{u_{3}}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{3}}$ 입니다.

$\frac{1}{12} (e^{u_{3}} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

$\frac{1}{12} e^{u_{3}} + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u_{3}$ 를 모두 ${u_{2}}^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{12} e^{{u_{2}}^{3}} + C$

단계 14.2

$u_{2}$ 를 모두 ${u_{1}}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{12} e^{{({u_{1}}^{2})}^{3}} + C$

단계 14.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{12} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{3}} + C$