미적분 예제

$y = x {(x - 4)}^{3}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

미분합니다.

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단계 3.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

단계 3.3.6

${(x - 4)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1.1

$x (3 {(x - 4)}^{2})$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

단계 3.4.1.2

${(x - 4)}^{3}$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

단계 3.4.1.3

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ 에서 ${(x - 4)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

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단계 3.4.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

${(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

단계 3.4.2.2

$3 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

단계 3.4.3

${(x - 4)}^{2}$ 을 $(x - 4) (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

단계 3.4.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 4) (x - 4)$ 를 전개합니다.

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단계 3.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 3.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

단계 3.4.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 3.4.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.5.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 3.4.5.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

단계 3.4.5.1.3

$- 4$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

단계 3.4.5.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

단계 3.4.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ 를 전개합니다.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.4.7.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.7.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.7.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.7.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.6

$- 8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.7

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.8

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

단계 3.4.7.9

$16$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

단계 3.4.8

$- 4 x^{2}$ 에서 $32 x^{2}$ 을 뺍니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

단계 3.4.9

$32 x$ 를 $64 x$ 에 더합니다.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$