미적분 예제

$y = \arctan (e^{x^{4}})$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (e^{x^{4}}))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = e^{x^{4}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{x^{4}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

단계 3.1.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

단계 3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{x^{4}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(e^{x^{4}})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

단계 3.2

${(e^{x^{4}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{1 + e^{x^{4} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

단계 3.2.2

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

단계 3.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

$e^{x^{4}}$ 와 $\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 3.4.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} (4 x^{3})$

단계 3.4.3

분수를 통분합니다.

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단계 3.4.3.1

$4$ 와 $\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} x^{3}$

단계 3.4.3.2

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$4 e^{x^{4}} x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

단계 3.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

단계 3.5.3

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

단계 5

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$