미적분 예제

$u = \sqrt[7]{t} + 6 \sqrt{t^{7}}$

단계 1

유리 지수를 사용하여 우변을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[7]{t}$ 을(를) $t^{\frac{1}{7}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 \sqrt{t^{7}}$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{t^{7}}$ 을(를) $t^{\frac{7}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u = t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$

단계 2

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d t} (u) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}})$

단계 3

$u$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $u'$ 입니다.

$u'$

단계 4

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $t^{\frac{1}{7}} + 6 t^{\frac{7}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}] + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

단계 4.2

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{7}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$n = \frac{1}{7}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

단계 4.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

단계 4.2.3

$- 1$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

단계 4.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

단계 4.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.5.1

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} t^{\frac{1 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

단계 4.2.5.2

$1$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{7} t^{\frac{- 6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

단계 4.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$

단계 4.3

$\frac{d}{d t} [6 t^{\frac{7}{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

$6$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $6 t^{\frac{7}{2}}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{7}{2}}]$

단계 4.3.2

$n = \frac{7}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1})$

단계 4.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 4.3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 4.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 4.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{7 - 2}{2}})$

단계 4.3.6.2

$7$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 (\frac{7}{2} t^{\frac{5}{2}})$

단계 4.3.7

$\frac{7}{2}$ 와 $t^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 6 \frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

단계 4.3.8

$6$ 와 $\frac{7 t^{\frac{5}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{6 (7 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

단계 4.3.9

$7$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{42 t^{\frac{5}{2}}}{2}$

단계 4.3.10

$42 t^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2}$

단계 4.3.11

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.11.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

단계 4.3.11.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{2 (21 t^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

단계 4.3.11.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + \frac{21 t^{\frac{5}{2}}}{1}$

단계 4.3.11.4

$21 t^{\frac{5}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{7} t^{- \frac{6}{7}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

단계 4.4

간단히 합니다.

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단계 4.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

단계 4.4.2

$\frac{1}{7}$ 에 $\frac{1}{t^{\frac{6}{7}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}} + 21 t^{\frac{5}{2}}$

단계 4.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

단계 5

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$u' = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$

단계 6

$u'$ 에 $\frac{d u}{d t}$ 를 대입합니다.

$\frac{d u}{d t} = 21 t^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{7 t^{\frac{6}{7}}}$