미적분 예제

$w = \frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d w} (w) = \frac{d}{d w} (\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3})$

단계 2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ 는 $n w^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.1.2

$\frac{2}{3}$ 이 $w$ 에 대해 일정하므로, $\frac{2}{3}$ 를 $w$ 에 대해 미분하면 $\frac{2}{3}$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- \frac{1}{5}$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $- \frac{y^{2}}{5}$ 의 미분은 $- \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2.2

$f (w) = w^{2}$ , $g (w) = y$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - \frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$0 - \frac{1}{5} (2 y \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d w} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - \frac{1}{5} (2 y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 (\frac{1}{5}) (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2.5

$- 2$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{- 2}{5} (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2.6

$y$ 와 $\frac{- 2}{5}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{y \cdot - 2}{5} y' + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2.7

$\frac{y \cdot - 2}{5}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{y \cdot - 2 y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2.8

$y$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$0 + \frac{- 2 \cdot y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$\frac{4}{3}$ 은 $w$ 에 대해 일정하므로 $w$ 에 대한 $\frac{4 y^{2}}{3}$ 의 미분은 $\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$

단계 3.3.2

$f (w) = w^{2}$ , $g (w) = y$ 일 때 $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ 는 $f' (g (w)) g' (w)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d w} [y])$

단계 3.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 u_{2} \frac{d}{d w} [y])$

단계 3.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y \frac{d}{d w} [y])$

단계 3.3.3

$\frac{d}{d w} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y y')$

단계 3.3.4

$2$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{2 \cdot 4}{3} (y y')$

단계 3.3.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8}{3} (y y')$

단계 3.3.6

$y$ 와 $\frac{8}{3}$ 을 묶습니다.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8}{3} y'$

단계 3.3.7

$\frac{y \cdot 8}{3}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8 y'}{3}$

단계 3.3.8

$y$ 의 왼쪽으로 $8$ 이동하기

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

단계 3.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$0$ 에서 $\frac{2 y y'}{5}$ 을 뺍니다.

$- \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

단계 3.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2 y y'}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3}$

단계 3.4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{8 y y'}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

단계 3.4.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.4.1

$\frac{2 y y'}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

단계 3.4.4.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

단계 3.4.4.3

$\frac{8 y y'}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{3 \cdot 5}$

단계 3.4.4.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{15}$

단계 3.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 y y' \cdot 3 + 8 y y' \cdot 5}{15}$

단계 3.4.6

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 y y' + 8 y y' \cdot 5}{15}$

단계 3.4.7

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{- 6 y y' + 40 y y'}{15}$

단계 3.4.8

$- 6 y y'$ 를 $40 y y'$ 에 더합니다.

$\frac{34 y y'}{15}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$1 = \frac{34 y y'}{15}$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{34 y y'}{15} = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$\frac{34 y y'}{15} = 1$

단계 5.2

방정식의 양변에 $\frac{15}{34}$ 을 곱합니다.

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

단계 5.3

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1.1

$15$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

단계 5.3.1.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{34} (34 y y') = \frac{15}{34} \cdot 1$

단계 5.3.1.1.2

$34$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1.2.1

$34 y y'$ 에서 $34$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

단계 5.3.1.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

단계 5.3.1.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y y' = \frac{15}{34} \cdot 1$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\frac{15}{34}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y y' = \frac{15}{34}$

단계 5.4

$y y' = \frac{15}{34}$ 의 각 항을 $y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$y y' = \frac{15}{34}$ 의 각 항을 $y$ 로 나눕니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{15}{34} \cdot \frac{1}{y}$

단계 5.4.3.2

$\frac{15}{34}$ 에 $\frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{15}{34 y}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d w}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d w} = \frac{15}{34 y}$