미적분 예제

$\ln (x y) = e^{x + y}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

단계 2.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

단계 2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

단계 2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

단계 2.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

단계 2.6.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{x y}$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

단계 2.6.2.2

$\frac{x}{x y}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

단계 2.6.2.3

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

단계 2.6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

단계 2.6.2.4

$\frac{1}{x y}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

단계 2.6.2.5

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

단계 2.6.2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 3.1.3

$u$ 를 모두 $x + y$ 로 바꿉니다.

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x + y} (1 + y')$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$e^{x + y} (1 + y')$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

다시 씁니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x + y} (1 + y')$

단계 5.1.2

0을 더해 식을 간단히 합니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

단계 5.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y'$

단계 5.1.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.4.1

$e^{x + y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + e^{x + y} y'$

단계 5.1.4.2

$e^{x + y} + e^{x + y} y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + y' e^{x + y}$

단계 5.2

$y'$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $y' e^{x + y}$ 를 뺍니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' e^{x + y} = e^{x + y}$

단계 5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- y' e^{x + y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y'}{y} - y' e^{x + y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

단계 5.2.3

$- y' e^{x + y}$ 와 $\frac{y}{y}$ 을 묶습니다.

$\frac{y'}{y} + \frac{- y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

단계 5.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y' - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

단계 5.2.5

$y' - y' e^{x + y} y$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$y'$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{{y'}^{1} - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

단계 5.2.5.2

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' \cdot 1 - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

단계 5.2.5.3

$- y' e^{x + y} y$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

단계 5.2.5.4

$y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

단계 5.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

단계 5.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{x}$ 을 표현하기 위해 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

단계 5.2.8

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $y x$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.8.1

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ 에 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

단계 5.2.8.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{y}{y}$ 을 곱합니다.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

단계 5.2.8.3

$y x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

단계 5.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

단계 5.2.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

단계 5.2.10.2

$y'$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(y' + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

단계 5.2.10.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{(y' - y' e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

단계 5.2.10.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y} = e^{x + y}$

단계 5.2.11

$\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} = e^{x + y}$

단계 5.3

양변에 $x y$ 을 곱합니다.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

단계 5.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1.1

$x y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

단계 5.4.1.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y' x - y' y x e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

단계 5.4.1.1.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1.1.2.1

$y$ 를 옮깁니다.

$y' x - y' x y e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

단계 5.4.1.1.2.2

$- y' x y e^{x + y}$ 를 옮깁니다.

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = e^{x + y} (x y)$

단계 5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$e^{x + y} (x y)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y}$

단계 5.5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$y' x - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

단계 5.5.2

$y' x - y' x y e^{x + y}$ 에서 $y' x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$y' x$ 에서 $y' x$ 를 인수분해합니다.

$y' x \cdot 1 - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

단계 5.5.2.2

$- y' x y e^{x + y}$ 에서 $y' x$ 를 인수분해합니다.

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

단계 5.5.2.3

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y})$ 에서 $y' x$ 를 인수분해합니다.

$y' x (1 - 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

단계 5.5.3

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

단계 5.5.4

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ 의 각 항을 $x (1 - y e^{x + y})$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.1

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ 의 각 항을 $x (1 - y e^{x + y})$ 로 나눕니다.

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

단계 5.5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

단계 5.5.4.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

단계 5.5.4.2.2

$1 - y e^{x + y}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

단계 5.5.4.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

단계 5.5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{x y e^{x + y} - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

단계 5.5.4.3.2

$x y e^{x + y} - y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.4.3.2.1

$x y e^{x + y}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

단계 5.5.4.3.2.2

$- y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1}{x (1 - y e^{x + y})}$

단계 5.5.4.3.2.3

$y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$