미적분 예제

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 1}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 1}{x + 1})$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x - 1$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.4.2

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.5

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$x + 1 - x - - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2.1.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5

$2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

단계 5.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

단계 5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

단계 5.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

단계 5.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

단계 5.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

단계 5.3.2

조합합니다.

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

단계 5.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

단계 5.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} (y)}$

단계 5.3.4

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2} y}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$