미적분 예제

$y^{2} = (x - y) (x^{2} + y)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} ((x - y) (x^{2} + y))$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x - y$ , $g (x) = x^{2} + y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y] + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 3.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ 가 됩니다.

$(x - y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

단계 3.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])$

단계 3.7

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - y')$

단계 3.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x - y) (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

단계 3.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x) - y (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

단계 3.8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

단계 3.8.4

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

단계 3.8.5

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

단계 3.8.6

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

단계 3.8.7

항을 묶습니다.

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단계 3.8.7.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{1} x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

단계 3.8.7.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{1} x^{1}) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

단계 3.8.7.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{1 + 1} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

단계 3.8.7.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{2} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

단계 3.8.7.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

단계 3.8.7.6

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

단계 3.8.7.7

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

단계 3.8.7.8

$2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

단계 3.8.7.9

$- y y'$ 를 $y (- y')$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.7.9.1

$y$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' - 1 \cdot y y' + y + x^{2} (- y')$

단계 3.8.7.9.2

$- y y'$ 에서 $y y'$ 을 뺍니다.

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

단계 3.8.8

항을 다시 정렬합니다.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y y' = 3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

$y'$ 가 식의 우변에 있으므로, 두 변을 바꿔 식의 좌변으로 옮깁니다.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y = 2 y y'$

단계 5.2

$y'$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $2 y y'$ 를 뺍니다.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y - 2 y y' = 0$

단계 5.2.2

$- 2 y y'$ 에서 $2 y y'$ 을 뺍니다.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

단계 5.3

$y'$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.3.1

방정식의 양변에서 $3 x^{2}$ 를 뺍니다.

$- 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2}$

단계 5.3.2

방정식의 양변에 $2 x y$ 를 더합니다.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2} + 2 x y$

단계 5.3.3

방정식의 양변에서 $y$ 를 뺍니다.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

단계 5.4

$x y' - 4 y y' - x^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$x y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' x - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

단계 5.4.2

$- 4 y y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x) + y' (- 4 y) - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

단계 5.4.3

$- x^{2} y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x) + y' (- 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

단계 5.4.4

$y' (x) + y' (- 4 y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x - 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

단계 5.4.5

$y' (x - 4 y) + y' (- x^{2})$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

단계 5.5

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ 의 각 항을 $x - 4 y - x^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ 의 각 항을 $x - 4 y - x^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.2.1

$x - 4 y - x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3.2

항을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3.2.3

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3.2.4

$2 x y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3.2.5

$- (3 x^{2}) - (- 2 x y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3.2.6

$- y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3.2.7

$- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3.2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 5.5.3.2.8.1

$- (3 x^{2} - 2 x y + y)$ 을 $- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 5.5.3.2.8.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$