미적분 예제

${(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3} = 79$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} ({(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3}) = \frac{d}{d x} (79)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 ${(4 x - y)}^{4} + 2 y^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [{(4 x - y)}^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 4 x - y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x - y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x - y$ 로 바꿉니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x - y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.2

합의 법칙에 의해 $4 x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.6

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 \cdot 1 - y') + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.2.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 y^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 입니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

단계 2.3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 2 (3 y^{2} y')$

단계 2.3.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} (4 - y') + 6 y^{2} y'$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 {(4 x - y)}^{3} \cdot 4 + 4 {(4 x - y)}^{3} (- y') + 6 y^{2} y'$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 {(4 x - y)}^{3} + 4 {(4 x - y)}^{3} (- y') + 6 y^{2} y'$

단계 2.4.2.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y'$

단계 3

$79$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $79$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $79$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 {(4 x - y)}^{3} y' + 6 y^{2} y'$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$16 {(4 x - y)}^{3} - 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y' = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $16 {(4 x - y)}^{3}$ 를 뺍니다.

$- 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y' = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.3

$- 4 y' {(4 x - y)}^{3} + 6 y^{2} y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- 4 y' {(4 x - y)}^{3}$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 6 y^{2} y' = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.3.2

$6 y^{2} y'$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 2 y' (3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.3.3

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3}) + 2 y' (3 y^{2})$ 에서 $2 y'$ 를 인수분해합니다.

$2 y' (- 2 {(4 x - y)}^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.4

이항정리 이용

$2 y' (- 2 ({(4 x)}^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$4 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 y' (- 2 (4^{3} x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} + 3 {(4 x)}^{2} (- y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} + 3 \cdot (- 1 {(4 x)}^{2} y) + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 {(4 x)}^{2} y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.5

$4 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 (4^{2} x^{2}) y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.6

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 3 (16 x^{2}) y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.7

$16$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 3 (4 x) {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.8

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.9

$- y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.10

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 \cdot ({(- 1)}^{2} x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.11

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 \cdot (1 x y^{2}) + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.12

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(- y)}^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.13

$- y$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.5.14

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} - y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.6

분배 법칙을 적용합니다.

$2 y' (- 2 (64 x^{3}) - 2 (- 48 x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

$64$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 y' (- 128 x^{3} - 2 (- 48 x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.7.2

$- 48$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 2 (12 x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.7.3

$12$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 24 (x y^{2}) - 2 (- y^{3}) + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.7.4

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 (x^{2} y) - 24 (x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.8

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.8.1

괄호를 제거합니다.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 (x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.8.2

괄호를 제거합니다.

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$

단계 5.9

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$ 의 각 항을 $2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}) = - 16 {(4 x - y)}^{3}$ 의 각 항을 $2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})} = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

단계 5.9.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.1.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.9.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y' (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}} = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

단계 5.9.2.2

$- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.2.2.1

공약수로 약분합니다.

단계 5.9.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{- 16 {(4 x - y)}^{3}}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

단계 5.9.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1

$- 16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.1

$- 16 {(4 x - y)}^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (- 8 {(4 x - y)}^{3})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

단계 5.9.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (- 8 {(4 x - y)}^{3})}{2 (- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2})}$

단계 5.9.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{- 8 {(4 x - y)}^{3}}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- 128 x^{3} + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.3

$- 128 x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3}) + 96 x^{2} y - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.4

$96 x^{2} y$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3}) - (- 96 x^{2} y) - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.5

$- (128 x^{3}) - (- 96 x^{2} y)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - 24 x y^{2} + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.6

$- 24 x y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - (24 x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.7

$- (128 x^{3} - 96 x^{2} y) - (24 x y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) + 2 y^{3} + 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.8

$2 y^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) - (- 2 y^{3}) + 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.9

$- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2}) - (- 2 y^{3})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) + 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.10

$3 y^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) - (- 3 y^{2})}$

단계 5.9.3.11

$- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3}) - (- 3 y^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})}$

단계 5.9.3.12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.3.12.1

$- (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})$ 을 $- 1 (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{- 1 (128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2})}$

단계 5.9.3.12.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - - \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.12.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y' = 1 \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

단계 5.9.3.12.4

$\frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 {(4 x - y)}^{3}}{128 x^{3} - 96 x^{2} y + 24 x y^{2} - 2 y^{3} - 3 y^{2}}$