미적분 예제

$\frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 2 x$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{3}{y}) = \frac{d}{d x} (2 x)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{3}{x} - \frac{3}{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{x}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.2.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{y}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{y}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$ 입니다.

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

단계 2.3.2

$f (x) = 1$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

단계 2.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

단계 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{y \cdot 0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

단계 2.3.5

$y$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - 1 \cdot 1 y'}{y^{2}}$

단계 2.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{0 - y'}{y^{2}}$

단계 2.3.7

$0$ 에서 $y'$ 을 뺍니다.

$- 3 x^{- 2} - 3 \frac{- y'}{y^{2}}$

단계 2.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 3 x^{- 2} - 3 (- \frac{y'}{y^{2}})$

단계 2.3.9

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 3 x^{- 2} + 3 \frac{y'}{y^{2}}$

단계 2.3.10

$3$ 와 $\frac{y'}{y^{2}}$ 을 묶습니다.

$- 3 x^{- 2} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 3 \frac{1}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

$- 3$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

단계 2.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 y'}{y^{2}}$

단계 2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}}$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{3 y'}{y^{2}} - \frac{3}{x^{2}} = 2$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

방정식의 양변에 $\frac{3}{x^{2}}$ 를 더합니다.

$\frac{3 y'}{y^{2}} = 2 + \frac{3}{x^{2}}$

단계 5.2

양변에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1

$y^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y'}{y^{2}} y^{2} = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

단계 5.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$3 y' = (2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$(2 + \frac{3}{x^{2}}) y^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3}{x^{2}} y^{2}$

단계 5.3.2.1.2

$\frac{3}{x^{2}}$ 와 $y^{2}$ 을 묶습니다.

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$

단계 5.4

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$3 y' = 2 y^{2} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{3}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{3}$

단계 5.4.3.1.2

조합합니다.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

단계 5.4.3.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{3 y^{2} \cdot 1}{x^{2} \cdot 3}$

단계 5.4.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2} \cdot 1}{x^{2}}$

단계 5.4.3.1.4

$y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y' = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{x^{2}}$