미적분 예제

$x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 1$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$n = \frac{4}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

단계 2.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

단계 2.2.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

단계 2.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

단계 2.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.2.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

단계 2.2.5.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.2

$n = \frac{4}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

단계 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

단계 2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

단계 2.3.4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

단계 2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

단계 2.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

단계 2.3.6.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

단계 2.3.7

$\frac{4}{3}$ 와 $y^{\frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

단계 2.3.8

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ 와 $y'$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

단계 2.4

$\frac{4}{3}$ 와 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

단계 3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

단계 5

$x^{\frac{1}{3}}$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

각 항에 포함된 공통인수 $x^{\frac{1}{3}}$ 를 찾습니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

단계 5.2

$x^{\frac{1}{3}}$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$\frac{4 (u)}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

단계 5.3

$u$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.3.1

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{4 u}{3} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

단계 5.3.2

방정식의 양변에서 $\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ 를 뺍니다.

$\frac{4 u}{3} = - \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$

단계 5.3.3

방정식의 각 변에 있는 식이 같은 분모를 가지므로 분자가 같아야 합니다.

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$

단계 5.3.4

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.4.1

$4 u = - 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

단계 5.3.4.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.4.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

단계 5.3.4.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{- 4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4}$

단계 5.3.4.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.3.4.3.1

$- 4 y' y^{\frac{1}{3}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4}$

단계 5.3.4.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.3.4.3.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 (1)}$

단계 5.3.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$u = \frac{4 (- y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 1}$

단계 5.3.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$u = \frac{- y' y^{\frac{1}{3}}}{1}$

단계 5.3.4.3.2.4

$- y' y^{\frac{1}{3}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = - y' y^{\frac{1}{3}}$

단계 5.4

$u$ 에 $y'$ 를 대입합니다.

$x^{\frac{1}{3}} = - y' y^{\frac{1}{3}}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - y' (y^{\frac{1}{3}})$