미적분 예제

$\cos^{3} (x) \sin^{3} (x)$

단계 1

$\cos^{2} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

단계 2

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 를 $1 - \sin^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) \sin^{3} (x) d x$

단계 3

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (1 - u^{2}) u^{3} d u$

단계 4

$(1 - u^{2}) u^{3}$ 을 전개합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int 1 u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

단계 4.2

$u^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{3} - u^{2} u^{3} d u$

단계 4.3

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int u^{3} - (u^{2} u^{3}) d u$

단계 4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{3} - u^{2 + 3} d u$

단계 4.5

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\int u^{3} - u^{5} d u$

단계 4.6

$u^{3}$ 와 $- u^{5}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int - u^{5} + u^{3} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - u^{5} d u + \int u^{3} d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{5}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} u^{6}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{6}$ 와 $u^{6}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

$- \frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{6} \sin^{6} (x) + \frac{1}{4} \sin^{4} (x) + C$