미적분 예제

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

단계 1

$f (x) = 1 + x^{2}$ , $g (x) = 1 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.5

$1 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.6

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.8

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.9

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.10

곱합니다.

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단계 2.10.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.10.2

$1 + x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.11

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.12

$1 + x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.1.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.1.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.2

$2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.5.2.1

$- 2 x^{3}$ 를 $2 x^{3}$ 에 더합니다.

$\frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.2.2

$2 x + 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.5.3

$2 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.7

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

단계 3.7.2

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

단계 3.7.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

단계 3.7.4

$(1 + x) (1 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$