미적분 예제

$f (x) = (x - 1) e^{3 x + 2}$

단계 1

$f (x) = x - 1$ , $g (x) = e^{3 x + 2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{3 x + 2}] + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x + 2$ 로 바꿉니다.

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $3 x + 2$ 로 바꿉니다.

$(x - 1) (e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x + 2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$(x - 1) e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.5

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$(x - 1) e^{3 x + 2} (3 + 0) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x - 1) e^{3 x + 2} \cdot 3 + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.6.2

$(x - 1) e^{3 x + 2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot ((x - 1) e^{3 x + 2}) + e^{3 x + 2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.9

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} (1 + 0)$

단계 3.10

식을 간단히 합니다.

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단계 3.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2} \cdot 1$

단계 3.10.2

$e^{3 x + 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (x - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 x + 3 \cdot - 1) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

단계 4.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(3 x - 3) e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{3 x + 2} (3 x - 3) + e^{3 x + 2}$

단계 4.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{3 x + 2} (3 x) + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

단계 4.4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 e^{3 x + 2} x + e^{3 x + 2} \cdot - 3 + e^{3 x + 2}$

단계 4.4.3

$e^{3 x + 2}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$3 e^{3 x + 2} x - 3 e^{3 x + 2} + e^{3 x + 2}$

단계 4.5

$- 3 e^{3 x + 2}$ 를 $e^{3 x + 2}$ 에 더합니다.

$3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$

단계 4.6

$3 e^{3 x + 2} x - 2 e^{3 x + 2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 x e^{3 x + 2} - 2 e^{3 x + 2}$