미적분 예제

$f (x) = 4 x {(5 x + 3)}^{4}$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x {(5 x + 3)}^{4}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x {(5 x + 3)}^{4}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(5 x + 3)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{4}] + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 5 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x + 3$ 로 바꿉니다.

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $5 x + 3$ 로 바꿉니다.

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 3]) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $5 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [3])) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} (5 + 0)) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 (x (4 {(5 x + 3)}^{3} \cdot 5) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6.2

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4} \cdot 1)$

단계 4.8

${(5 x + 3)}^{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3}) + {(5 x + 3)}^{4})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x (20 {(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

단계 5.2

$20$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$80 (x ({(5 x + 3)}^{3})) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

단계 5.3

$80 x {(5 x + 3)}^{3} + 4 {(5 x + 3)}^{4}$ 에서 $4 {(5 x + 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$80 x {(5 x + 3)}^{3}$ 에서 $4 {(5 x + 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{4}$

단계 5.3.2

$4 {(5 x + 3)}^{4}$ 에서 $4 {(5 x + 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$

단계 5.3.3

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x) + 4 {(5 x + 3)}^{3} (5 x + 3)$ 에서 $4 {(5 x + 3)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$4 {(5 x + 3)}^{3} (20 x + 5 x + 3)$

단계 5.4

$20 x$ 를 $5 x$ 에 더합니다.

$4 {(5 x + 3)}^{3} (25 x + 3)$