미적분 예제

$f (x) = 3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} + 1)}^{7}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(x^{3} + 1)}^{7}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{7}] + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = x^{3} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (x^{2} (7 {(x^{3} + 1)}^{6} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4.2

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$3 (x^{2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6} x^{2}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$3 (x^{2} x^{2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (x^{2 + 2} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + {(x^{3} + 1)}^{7} (2 x))$

단계 7

${(x^{3} + 1)}^{7}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6}) + 2 \cdot {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (x^{4} (21 {(x^{3} + 1)}^{6})) + 3 (2 {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

단계 8.2

$21$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$63 (x^{4} ({(x^{3} + 1)}^{6})) + 3 (2 {(x^{3} + 1)}^{7} x)$

단계 8.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6} + 6 ({(x^{3} + 1)}^{7} x)$

단계 8.4

$63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6} + 6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$ 에서 $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.4.1

$63 x^{4} {(x^{3} + 1)}^{6}$ 에서 $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ 를 인수분해합니다.

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$

단계 8.4.2

$6 {(x^{3} + 1)}^{7} x$ 에서 $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ 를 인수분해합니다.

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (2 (x^{3} + 1))$

단계 8.4.3

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3}) + 3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (2 (x^{3} + 1))$ 에서 $3 x {(x^{3} + 1)}^{6}$ 를 인수분해합니다.

$3 x {(x^{3} + 1)}^{6} (21 x^{3} + 2 (x^{3} + 1))$