미적분 예제

$x + \frac{1}{x}$

단계 1

$x + \frac{1}{x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x + \frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 - x^{- 2}$

단계 2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.6.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.10

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.11

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.2.13

$2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

단계 3.4.2.2

$\frac{2}{x^{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + \frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 5.1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 5.1.2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 - x^{- 2}$

단계 5.1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

단계 5.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ 입니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

단계 6.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

단계 6.3

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$x^{2}, 1$

단계 6.3.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x^{2}$

단계 6.4

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ 의 각 항에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

단계 6.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.2.1.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

단계 6.4.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

단계 6.4.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$- 1 = - x^{2}$

단계 6.5

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.1

$- x^{2} = - 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- x^{2} = - 1$

단계 6.5.2

$- x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.1

$- x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 6.5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 6.5.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 6.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 6.5.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 6.5.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 6.5.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.5.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 6.5.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 6.5.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{x^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} = 0$

단계 7.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 7.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 7.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 7.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 8

계산할 임계점.

$x = 1, - 1$

단계 9

$x = 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

단계 10

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2}{1}$

단계 10.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

단계 11

이계도함수가 양수이므로 $x = 1$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = 1$ 은 극소값입니다.

단계 12

$x = 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

단계 12.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.2.1

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (1) = 1 + 1$

단계 12.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1) = 2$

단계 12.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$y = 2$

단계 13

$x = - 1$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

단계 14

이차 미분값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{2}{- 1}$

단계 14.2

$2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$- 2$

단계 15

이계도함수가 음수이므로 $x = - 1$ 은 극대값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - 1$ 은 극대값입니다

단계 16

$x = - 1$ 일 때 y값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = (- 1) + \frac{1}{- 1}$

단계 16.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$f (- 1) = - 1 - 1$

단계 16.2.2

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 2$

단계 16.2.3

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$y = - 2$

단계 17

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ 에 대한 극값입니다.

$(1, 2)$ 은 극솟값임

$(- 1, - 2)$ 은 극댓값임

단계 18