미적분 예제

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

단계 10

${(x^{2} - 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

단계 11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 11.4

항을 묶습니다.

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단계 11.4.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.4.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 11.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 11.4.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 11.4.2

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 11.4.3

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 11.4.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 11.4.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 11.4.6

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 11.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.5.1

${(x^{2} - 1)}^{2}$ 을 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

단계 11.5.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 11.5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

단계 11.5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

단계 11.5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 11.5.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 11.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.5.3.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.5.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 11.5.3.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 11.5.3.1.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 11.5.3.1.3

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 11.5.3.1.4

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 11.5.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

단계 11.5.3.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

단계 11.5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

단계 11.5.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.5.5.1

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

단계 11.5.5.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

단계 11.6

$24 x^{4}$ 를 $6 x^{4}$ 에 더합니다.

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

단계 11.7

$- 24 x^{2}$ 에서 $12 x^{2}$ 을 뺍니다.

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$