미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{3 - x^{3}}}$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{3 - x^{3}}$ 을(를) ${(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}]$

단계 1.2

$\frac{1}{{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

단계 1.3

${({(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

단계 1.3.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}}]$

단계 1.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [{(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}]$

단계 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ , $g (x) = 3 - x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 - x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 2.2

$n = - \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $3 - x^{3}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 6.2

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{3} {(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 7.2

${(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(3 - x^{3})}^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [3 - x^{3}]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $3 - x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

단계 9

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

단계 10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 12

곱합니다.

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단계 12.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 12.2

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 13

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} (3 x^{2})$

단계 14

항을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$3$ 와 $\frac{1}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} x^{2}$

단계 14.2

$\frac{3}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{2}}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 14.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3 {(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 14.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2}}{{(3 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 14.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2}}{{(- x^{3} + 3)}^{\frac{4}{3}}}$