미적분 예제

$y = (5 - x^{2}) (x^{3} - 5 x + 5)$

단계 1

$f (x) = 5 - x^{2}$ , $g (x) = x^{3} - 5 x + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x + 5] + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 5 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$(5 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

단계 2.3

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

단계 2.5

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [5]) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

단계 2.6

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5 + 0) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

단계 2.7

$3 x^{2} - 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $5 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 2.9

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

단계 2.10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- (2 x))$

단계 2.13

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x + 5) (- 2 x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2} - 5) + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(5 - x^{2}) (3 x^{2}) + (5 - x^{2}) \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + (5 - x^{2}) \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5

항을 묶습니다.

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단계 3.5.1

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} - x^{2} (3 x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} - 3 x^{2} x^{2} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$15 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2}) + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$15 x^{2} - 3 x^{2 + 2} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.3.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$15 x^{2} - 3 x^{4} + 5 \cdot - 5 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.4

$5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - x^{2} \cdot - 5 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.5

$- 5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + 5 x^{2} + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.6

$15 x^{2}$ 를 $5 x^{2}$ 에 더합니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{3} (- 2 x) - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.7

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.7.1

$x$ 를 옮깁니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x \cdot x^{3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.7.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.5.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{1} x^{3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.7.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{1 + 3} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.7.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 + x^{4} \cdot - 2 - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.8

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 \cdot x^{4} - 5 x (- 2 x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.9

$- 2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x \cdot x + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.10

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 (x^{1} x) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.11

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1}) + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{1 + 1} + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.13

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{2} + 5 (- 2 x)$

단계 3.5.14

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} - 3 x^{4} - 25 - 2 x^{4} + 10 x^{2} - 10 x$

단계 3.5.15

$- 3 x^{4}$ 에서 $2 x^{4}$ 을 뺍니다.

$20 x^{2} - 5 x^{4} - 25 + 10 x^{2} - 10 x$

단계 3.5.16

$20 x^{2}$ 를 $10 x^{2}$ 에 더합니다.

$30 x^{2} - 5 x^{4} - 25 - 10 x$

단계 3.6

항을 다시 정렬합니다.

$- 5 x^{4} + 30 x^{2} - 10 x - 25$