미적분 예제

$y = (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}$

단계 1

$f (x) = 5 x^{2} - 10 x + 10$ , $g (x) = e^{- 7 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 7 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 7 x$ 로 바꿉니다.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $- 7 x$ 로 바꿉니다.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

단계 3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} \cdot - 7 + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

단계 3.3.2

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}$ 의 왼쪽으로 $- 7$ 이동하기

$- 7 \cdot ((5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $5 x^{2} - 10 x + 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 가 됩니다.

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

단계 3.5

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

단계 3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

단계 3.7

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

단계 3.8

$- 10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 10 x$ 의 미분은 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

단계 3.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

단계 3.10

$- 10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 + \frac{d}{d x} [10])$

단계 3.11

$10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $10$ 입니다.

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10 + 0)$

단계 3.12

$10 x - 10$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 7 (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(- 7 (5 x^{2}) - 7 (- 10 x) - 7 \cdot 10) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 7 (5 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x - 10)$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 7 (5 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

단계 4.4

항을 묶습니다.

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단계 4.4.1

$5$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} - 7 (- 10 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

단계 4.4.2

$- 10$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 7 \cdot 10 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

단계 4.4.3

$- 7$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) + e^{- 7 x} \cdot - 10$

단계 4.4.4

$e^{- 7 x}$ 의 왼쪽으로 $- 10$ 이동하기

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 x) - 10 \cdot e^{- 7 x}$

단계 4.4.5

$70 x e^{- 7 x}$ 를 $e^{- 7 x} (10 x)$ 에 더합니다.

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단계 4.4.5.1

$e^{- 7 x}$ 를 옮깁니다.

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 70 x e^{- 7 x} + 10 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} - 10 e^{- 7 x}$

단계 4.4.5.2

$70 x e^{- 7 x}$ 를 $10 x e^{- 7 x}$ 에 더합니다.

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 70 e^{- 7 x} - 10 e^{- 7 x}$

단계 4.4.6

$- 70 e^{- 7 x}$ 에서 $10 e^{- 7 x}$ 을 뺍니다.

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 80 e^{- 7 x}$

단계 4.5

항을 다시 정렬합니다.

$- 35 e^{- 7 x} x^{2} + 80 e^{- 7 x} x - 80 e^{- 7 x}$

단계 4.6

$- 35 e^{- 7 x} x^{2} + 80 e^{- 7 x} x - 80 e^{- 7 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- 35 x^{2} e^{- 7 x} + 80 x e^{- 7 x} - 80 e^{- 7 x}$