미적분 예제

$y = {(\arctan (5 x))}^{2}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \arctan (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\arctan (5 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\arctan (5 x)$ 로 바꿉니다.

$2 \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$2 \arctan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.2

$\arctan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 입니다.

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$5 x$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$5 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3.2.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$2 \arctan (5 x) (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 3.2.2

$\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{1 + 25 x^{2}} \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.2.3

$\frac{2}{1 + 25 x^{2}}$ 와 $\arctan (5 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

분수를 통분합니다.

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단계 3.4.1

$5$ 와 $\frac{2 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 (2 \arctan (5 x))}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{10 \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

단계 3.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{10 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$