미적분 예제

$y = {(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)}$ 을 $e^{\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})}]$

단계 1.2

$\ln (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(x^{3} - 2 x)}^{\ln (x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)]$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (x^{3} - 2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} - 2 x)] + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{3} - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{3} - 2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{3} - 2 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x) (\frac{1}{x^{3} - 2 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{x^{3} - 2 x}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x] + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 5.2

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 5.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 5.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2 \cdot 1) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 5.6

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 6

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) \frac{1}{x})$

단계 7

$\ln (x^{3} - 2 x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

단계 8

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

단계 9

$\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2)$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) x}{x} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x)}{x})$

단계 10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) x + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$

단계 11

$x$ 와 $\frac{\ln (x)}{x^{3} - 2 x}$ 을 묶습니다.

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$

단계 12

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}$ 와 $\frac{\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x)}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x^{3} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 13.1.1.1

$x^{3} - 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 13.1.1.1.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x \cdot x^{2} - 2 x} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

단계 13.1.1.1.2

$- 2 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 2} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

단계 13.1.1.1.3

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 2$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x (x^{2} - 2)} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

단계 13.1.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{x \ln (x)}{x (x^{2} - 2)} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

단계 13.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} - 2} (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

단계 13.1.1.3

$\frac{\ln (x)}{x^{2} - 2}$ 에 $3 x^{2} - 2$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} + \ln (x^{3} - 2 x))}{x}$

단계 13.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (x^{3} - 2 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} - 2}{x^{2} - 2}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} + \frac{\ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2})}{x}$

단계 13.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x) (3 x^{2} - 2) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.1.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.1.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x) (3 x^{2}) + \ln (x) \cdot - 2 + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.1.4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} + \ln (x) \cdot - 2 + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.1.4.3

$\ln (x) \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.4.3.1

$\ln (x)$ 와 $- 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} - 2 \cdot \ln (x) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.1.4.3.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \cdot \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{3 \ln (x) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.1.4.4

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.1.4.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} + \ln (x^{3} - 2 x) \cdot - 2}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.1.4.6

$\ln (x^{3} - 2 x) \cdot - 2$ 을 곱합니다.

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단계 13.1.4.6.1

$\ln (x^{3} - 2 x)$ 와 $- 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - 2 \cdot \ln (x^{3} - 2 x)}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.1.4.6.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \cdot \ln (x^{3} - 2 x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} \frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2})}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.1.5

$e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)}$ 와 $\frac{\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2})}{x^{2} - 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.1.6

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (\ln (x^{3}) x^{2} - \ln (x^{2}) + \ln (x^{3} - 2 x) x^{2} - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$

단계 13.2

항을 묶습니다.

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단계 13.2.1

$\frac{\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}}{x}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2} \cdot \frac{1}{x}$

단계 13.2.2

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x^{2} - 2}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{(x^{2} - 2) x}$

단계 13.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{3} - 2 x)} (x^{2} \ln (x^{3}) - \ln (x^{2}) + x^{2} \ln (x^{3} - 2 x) - \ln ({(x^{3} - 2 x)}^{2}))}{x (x^{2} - 2)}$