미적분 예제

$y = {(2 x - 5)}^{4} {(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$

단계 1

$f (x) = {(2 x - 5)}^{4}$ , $g (x) = {(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 5)}^{- 3}] + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = 8 x^{2} - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $8 x^{2} - 5$ 로 바꿉니다.

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $8 x^{2} - 5$ 로 바꿉니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5]) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $8 x^{2} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 3.2

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 3.4

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 3.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x + 0)) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$16 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 3 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} (16 x)) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 3.6.2

$16$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{4}]$

단계 4

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 2 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x - 5$ 로 바꿉니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

단계 4.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x - 5$ 로 바꿉니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} (4 {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5])$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

${(8 x^{2} - 5)}^{- 3}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 \cdot {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 5]$

단계 5.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 5.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 5.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 5.6

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} (2 + 0)$

단계 5.7

식을 간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 4 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3} \cdot 2$

단계 5.7.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 {(8 x^{2} - 5)}^{- 4} x) + 8 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 {(8 x^{2} - 5)}^{- 3} {(2 x - 5)}^{3}$

단계 6.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- 48 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

단계 6.3

항을 묶습니다.

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단계 6.3.1

$- 48$ 와 $\frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ 을 묶습니다.

${(2 x - 5)}^{4} (\frac{- 48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

단계 6.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} x) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

단계 6.3.3

$x$ 와 $\frac{48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ 을 묶습니다.

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{x \cdot 48}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

단계 6.3.4

$x$ 의 왼쪽으로 $48$ 이동하기

${(2 x - 5)}^{4} (- \frac{48 \cdot x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}) + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

단계 6.3.5

${(2 x - 5)}^{4}$ 와 $\frac{48 x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(2 x - 5)}^{4} (48 x)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

단계 6.3.6

${(2 x - 5)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $48$ 이동하기

$- \frac{48 \cdot {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + 8 \frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

단계 6.3.7

$8$ 와 $\frac{1}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} {(2 x - 5)}^{3}$

단계 6.3.8

$\frac{8}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ 와 ${(2 x - 5)}^{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$

단계 6.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}} \cdot \frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$

단계 6.3.10

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(8 x^{2} - 5)}^{4}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 6.3.10.1

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3}}{{(8 x^{2} - 5)}^{3}}$ 에 $\frac{8 x^{2} - 5}{8 x^{2} - 5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}$

단계 6.3.10.2

지수를 더하여 ${(8 x^{2} - 5)}^{3}$ 에 $8 x^{2} - 5$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.10.2.1

${(8 x^{2} - 5)}^{3}$ 에 $8 x^{2} - 5$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.10.2.1.1

$8 x^{2} - 5$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3} {(8 x^{2} - 5)}^{1}}$

단계 6.3.10.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{3 + 1}}$

단계 6.3.10.2.2

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{48 {(2 x - 5)}^{4} x}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}} + \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 48 {(2 x - 5)}^{4} x + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 48 x {(2 x - 5)}^{4} + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$- 48 x {(2 x - 5)}^{4} + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)$ 에서 $8 {(2 x - 5)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.5.1.1

$- 48 x {(2 x - 5)}^{4}$ 에서 $8 {(2 x - 5)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.5.1.2

$8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5)) + 8 {(2 x - 5)}^{3} (8 x^{2} - 5)$ 에서 $8 {(2 x - 5)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x - 5) + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 5 + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.5.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x \cdot x - 6 x \cdot - 5 + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.5.4

$- 5$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x \cdot x + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.5.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.5.5.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.5.5.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 (x \cdot x) + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.5.5.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 6 \cdot 2 x^{2} + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.5.5.2

$- 6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 12 x^{2} + 30 x + 8 x^{2} - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.5.6

$- 12 x^{2}$ 를 $8 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 4 x^{2} + 30 x - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.6

$- 4 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2}) + 30 x - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.7

$30 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2}) - (- 30 x) - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.8

$- (4 x^{2}) - (- 30 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x) - 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.9

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x) - 1 (5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.10

$- (4 x^{2} - 30 x) - 1 (5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- (4 x^{2} - 30 x + 5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.11

$- (4 x^{2} - 30 x + 5)$ 을 $- 1 (4 x^{2} - 30 x + 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (- 1 (4 x^{2} - 30 x + 5))}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(8 {(2 x - 5)}^{3}) (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$

단계 6.13

$- \frac{(8 {(2 x - 5)}^{3}) (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{8 {(2 x - 5)}^{3} (4 x^{2} - 30 x + 5)}{{(8 x^{2} - 5)}^{4}}$