미적분 예제

$y = \frac{x^{2}}{5 x^{6} - 1}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 5 x^{6} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 x^{6} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(5 x^{6} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 2.2

$5 x^{6} - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (5 x^{6} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $5 x^{6} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 2.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x^{6}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 입니다.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 2.5

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 2.6

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 2.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + 0)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 2.8

식을 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$30 x^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 2.8.2

$30$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{2} x^{5}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x^{5}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 (x^{5} x^{2})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{5 + 2}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 3.3

$5$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 (5 x^{6}) + 2 \cdot - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (5 x^{6}) x + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

지수를 더하여 $x^{6}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (5 (x \cdot x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.1.2

$x$ 에 $x^{6}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (5 (x^{1} x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (5 x^{1 + 6}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.1.3

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{2 (5 x^{7}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.2

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{10 x^{7} + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{10 x^{7} - 2 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.2

$10 x^{7}$ 에서 $30 x^{7}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 20 x^{7} - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.4

$- 20 x^{7} - 2 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.4.1

$- 20 x^{7}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.4.2

$- 2 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.4.3

$2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- 10 x^{6} - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.5

$- 10 x^{6}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.6

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1 (1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.7

$- (10 x^{6}) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x (- (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.8

$- (10 x^{6} + 1)$ 을 $- 1 (10 x^{6} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 x (- 1 (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

단계 4.10

$- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{2 x (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$