미적분 예제

$y = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x^{\frac{3}{2}}}$

단계 1

$f (x) = {(x + 1)}^{3}$ , $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{{(x^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

단계 2

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

단계 3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

단계 4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0)) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

단계 4.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}{x^{3}}$

단계 4.5

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}{x^{3}}$

단계 5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x^{3}}$

단계 6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

단계 7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}{x^{3}}$

단계 8

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}{x^{3}}$

단계 8.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}{x^{3}}$

단계 9

$\frac{3}{2}$ 와 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - {(x + 1)}^{3} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}{x^{3}}$

단계 10

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 ${(x + 1)}^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

단계 11

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

단계 12

$x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

단계 13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (3 {(x + 1)}^{2}) \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

단계 14

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$

단계 15

$\frac{\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}}{x^{3}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}$

단계 16

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2}$ 에 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

단계 17

간단히 합니다.

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단계 17.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 17.1.1

$x^{\frac{3}{2}} (6 {(x + 1)}^{2}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 17.1.1.1

$x^{\frac{3}{2}}$ 와 $6$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{6 \cdot x^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{2} - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

단계 17.1.1.2

$6 \cdot x^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{2}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) - 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}}{2 x^{3}}$

단계 17.1.1.3

$- 3 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (- (x + 1))}{2 x^{3}}$

단계 17.1.1.4

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (- (x + 1))$ 에서 $x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{\frac{2}{2}} - (x + 1))}{2 x^{3}}$

단계 17.1.2

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x^{1} - (x + 1))}{2 x^{3}}$

단계 17.1.3

간단히 합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 \cdot x - (x + 1))}{2 x^{3}}$

단계 17.1.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 x - x - 1 \cdot 1)}{2 x^{3}}$

단계 17.1.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (2 x - x - 1)}{2 x^{3}}$

단계 17.1.6

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3}}$

단계 17.2

항을 묶습니다.

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단계 17.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3}}$

단계 17.2.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}$

단계 17.2.3

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 17.2.3.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{3})}$

단계 17.2.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3}}$

단계 17.2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

단계 17.2.3.4

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

단계 17.2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

단계 17.2.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 17.2.3.6.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

단계 17.2.3.6.2

$- 1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2} (x - 1)}{2 x^{\frac{5}{2}}}$