미적분 예제

$y = {\sin (5 x)}^{\ln (x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${\sin (5 x)}^{\ln (x)}$ 을 $e^{\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})}]$

단계 1.2

$\ln (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\sin (5 x)}^{\ln (x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \ln (x) \ln (\sin (5 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (x) \ln (\sin (5 x))$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\sin (5 x))]$

단계 3

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (\sin (5 x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (5 x))] + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 5

$\frac{1}{\sin (5 x)}$ 을 $\csc (5 x)$ 로 변환합니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 6

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 6.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 6.3

$u_{3}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 7.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 7.3.2

$\csc (5 x) \cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))) + \ln (\sin (5 x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

단계 8

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \ln (\sin (5 x)) \frac{1}{x})$

단계 9

$\ln (\sin (5 x))$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x)) + \frac{\ln (\sin (5 x))}{x})$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} (\ln (x) (5 \csc (5 x) \cos (5 x))) + e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

단계 10.2

항을 묶습니다.

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단계 10.2.1

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 \cdot (e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x)) \csc (5 x) \cos (5 x) + e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$

단계 10.2.2

$e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))}$ 와 $\frac{\ln (\sin (5 x))}{x}$ 을 묶습니다.

$5 e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (x) \csc (5 x) \cos (5 x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))}{x}$

단계 10.3

항을 다시 정렬합니다.

$5 e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \cos (5 x) \csc (5 x) \ln (x) + \frac{e^{\ln (x) \ln (\sin (5 x))} \ln (\sin (5 x))}{x}$