미적분 예제

$y = {(\ln (x))}^{\cos (x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(\ln (x))}^{\cos (x)}$ 을 $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})}]$

단계 1.2

$\cos (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(\ln (x))}^{\cos (x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (\ln (x))}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \cos (x) \ln (\ln (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (x) \ln (\ln (x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (x) \ln (\ln (x))$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (\ln (x))]$

단계 3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = \ln (\ln (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\ln (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\cos (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 5

$\frac{1}{\ln (x)}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 6

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 7

$\frac{\cos (x)}{\ln (x)}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 8

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + \ln (\ln (x)) (- \sin (x)))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \frac{\cos (x)}{\ln (x) x} + e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} (\ln (\ln (x)) (- \sin (x)))$

단계 9.2

$e^{\cos (x) \ln (\ln (x))}$ 와 $\frac{\cos (x)}{\ln (x) x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \cos (x)}{\ln (x) x} + e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x)) (- \sin (x))$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \sin (x) \ln (\ln (x)) + \frac{e^{\cos (x) \ln (\ln (x))} \cos (x)}{\ln (x) x}$