미적분 예제

$y = \sqrt{a x} + \frac{a}{\sqrt{a x}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sqrt{a x} + \frac{a}{\sqrt{a x}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{a x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{a x}$ 을(를) ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.3

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.6

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.8.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.8.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} (a \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.10

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} a + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.11

$\frac{1}{2}$ 와 ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} a + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.12

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $a$ 을 묶습니다.

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}} a}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 2.13

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\frac{a}{\sqrt{a x}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{a x}$ 을(를) ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{a}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 3.2

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{a}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 3.3

$\frac{1}{{(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a \frac{d}{d x} [{({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 3.4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = {(a x)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.4.3

$u_{2}$ 를 모두 ${(a x)}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(a x)}^{\frac{1}{2}}])$

단계 3.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = a x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $a x$ 로 바꿉니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [a x]))$

단계 3.5.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x]))$

단계 3.5.3

$u_{3}$ 를 모두 $a x$ 로 바꿉니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a x]))$

단계 3.6

$a$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $a x$ 의 미분은 $a \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \frac{d}{d x} [x])))$

단계 3.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

단계 3.8

${({(a x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.8.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

단계 3.8.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.8.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

단계 3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

단계 3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1} (a \cdot 1)))$

단계 3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (a \cdot 1)))$

단계 3.10

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1)))$

단계 3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (a \cdot 1)))$

단계 3.12

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.12.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (a \cdot 1)))$

단계 3.12.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{\frac{- 1}{2}} (a \cdot 1)))$

단계 3.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} (a \cdot 1)))$

단계 3.14

$a$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{1}{2} {(a x)}^{- \frac{1}{2}} a))$

단계 3.15

$\frac{1}{2}$ 와 ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} (\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} a))$

단계 3.16

$\frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $a$ 을 묶습니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} \frac{{(a x)}^{- \frac{1}{2}} a}{2})$

단계 3.17

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(a x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- {(a x)}^{- 1} \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 3.18

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 ${(a x)}^{- 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a {(a x)}^{- 1}}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 3.19

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(a x)}^{- 1}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (a x)})$

단계 3.20

공약수로 약분합니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (a x)})$

단계 3.21

수식을 다시 씁니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} + a (- \frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)})$

단계 3.22

$a$ 와 $\frac{1}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$a x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{2 {(a x)}^{\frac{1}{2}} (x)}$

단계 4.2

$a x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $a^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

단계 4.3.2

지수를 더하여 $a$ 에 $a^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.2.1

$a$ 에 $a^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.2.1.1

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

단계 4.3.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

단계 4.3.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

단계 4.3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

단계 4.3.2.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 (a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) x}$

단계 4.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

단계 4.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}}$

단계 4.3.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 4.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

단계 4.3.7

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a}{2 a^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.3.8

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $a^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a \cdot a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.3.9

지수를 더하여 $a$ 에 $a^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.9.1

$a$ 에 $a^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.9.1.1

$a$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1} a^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.3.9.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.3.9.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.3.9.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

단계 4.3.9.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$