미적분 예제

$y = x^{2} e^{x^{3}}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x^{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{3}$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (e^{x^{3}} (3 x^{2})) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{2} x^{2} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2 + 2} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 4.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$x^{4} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 5

$e^{x^{3}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x^{4} (3 \cdot e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (3 e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} (2 x)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

항을 다시 정렬합니다.

$3 e^{x^{3}} x^{4} + 2 e^{x^{3}} x$

단계 7.2

$3 e^{x^{3}} x^{4} + 2 e^{x^{3}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$3 x^{4} e^{x^{3}} + 2 x e^{x^{3}}$