미적분 예제

$y = x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 2} (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin^{4} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

단계 2.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

단계 2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

단계 2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos^{- 2} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)] + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$f (x) = x^{- 2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.2

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))) + \cos^{- 2} (x) \cdot 1$

단계 3.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)) + \cos^{- 2} (x) \cdot 1$

단계 3.6

$\cos^{- 2} (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)) + \cos^{- 2} (x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)) + \cos^{- 2} (x)$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

$\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ 을 $\sec^{3} (x)$ 로 변환합니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \sec^{3} (x) \sin (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.3.2

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 $\sec^{2} (x)$ 로 변환합니다.

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \sec^{3} (x) \sin (x)) + \sec^{2} (x)$

단계 4.4

항을 다시 정렬합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{3} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x)$

단계 4.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{3} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

단계 4.5.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \frac{1^{3}}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

단계 4.5.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

단계 4.5.4

$2 x \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 4.5.4.1

$2$ 와 $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ 을 묶습니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + x \frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

단계 4.5.4.2

$x$ 와 $\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ 을 묶습니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{x \cdot 2}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

단계 4.5.5

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \cdot x}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

단계 4.5.6

$\frac{2 x}{\cos^{3} (x)}$ 와 $\sin (x)$ 을 묶습니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x)$

단계 4.5.7

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 4.5.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.5.9

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$\cos^{3} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.2

분수를 나눕니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.4

$\frac{2 x}{\cos^{2} (x)}$ 와 $\tan (x)$ 을 묶습니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \tan (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.5

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.6

분수를 나눕니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.7

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.8

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.9

간단히 합니다.

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단계 4.6.9.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.9.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.10

$\frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ 을 곱합니다.

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단계 4.6.10.1

$\tan (x)$ 와 $\frac{2 x}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (2 x)}{\cos (x)} \sec (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.10.2

$\frac{\tan (x) (2 x)}{\cos (x)}$ 와 $\sec (x)$ 을 묶습니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (2 x) \sec (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.11

분수를 나눕니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.12

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.13

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.14

간단히 합니다.

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단계 4.6.14.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.14.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.15

$(2 x) \sec (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + (2 x) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.16

$(2 x) \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ 을 곱합니다.

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단계 4.6.16.1

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.16.2

$\sec (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.16.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.16.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.17

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

단계 4.6.18

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ 을 ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

단계 4.6.19

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$