미적분 예제

$y = x^{\ln (4 x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$x^{\ln (4 x)}$ 을 $e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}]$

단계 1.2

$\ln (4 x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\ln (4 x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (4 x) \ln (x)}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \ln (4 x) \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\ln (4 x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\ln (4 x) \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

단계 3

$f (x) = \ln (4 x)$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

단계 4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

단계 5

$\ln (4 x)$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

단계 6

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

단계 6.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x]))$

단계 6.3

$u_{2}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]))$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{4 x}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

단계 7.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 7.3

항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$4$ 와 $\frac{\ln (x)}{4 x}$ 을 묶습니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.3.2

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 7.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \cdot 1)$

단계 7.5

$\frac{\ln (x)}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

단계 8.2

항을 묶습니다.

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단계 8.2.1

$e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ 와 $\frac{\ln (4 x)}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

단계 8.2.2

$e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ 와 $\frac{\ln (x)}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + \frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (x)}{x}$