미적분 예제

$y = \frac{x + 5}{x^{3} + x - 4}$

단계 1

$f (x) = x + 5$ , $g (x) = x^{3} + x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{3} + x - 4) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{3} + x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{3} + x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 2.3

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{(x^{3} + x - 4) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{3} + x - 4) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 2.4.2

$x^{3} + x - 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} + x - 4]}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x^{3} + x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 2.8

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1 + 0)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 2.9

$3 x^{2} + 1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - (x + 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 + (- x - 1 \cdot 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 + (- x - 5) (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x - 5) (3 x^{2} + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 3.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2} + 1) - 5 (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2} + 1)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - x (3 x^{2}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.3.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x \cdot x^{2} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.3.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 (x^{2} x) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.3.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x^{2 + 1} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 1 \cdot 3 x^{3} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x \cdot 1 - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 5 (3 x^{2}) - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.5

$3$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5 \cdot 1}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.6

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.2

$x^{3} + x - 4 - 3 x^{3} - x - 15 x^{2} - 5$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.2.2.1

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{3} - 4 - 3 x^{3} + 0 - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.2.2

$x^{3} - 4 - 3 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} - 4 - 3 x^{3} - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.3

$x^{3}$ 에서 $3 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{3} - 4 - 15 x^{2} - 5}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.2.4

$- 4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{- 2 x^{3} - 15 x^{2} - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.3

$- 2 x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{3}) - 15 x^{2} - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.4

$- 15 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{3}) - (15 x^{2}) - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.5

$- (2 x^{3}) - (15 x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.6

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 1 (9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.7

$- (2 x^{3} + 15 x^{2}) - 1 (9)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.8

$- (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)$ 을 $- 1 (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (2 x^{3} + 15 x^{2} + 9)}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$

단계 3.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 9}{{(x^{3} + x - 4)}^{2}}$