미적분 예제

$y = {\sin (x)}^{\tan (x)}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${\sin (x)}^{\tan (x)}$ 을 $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}]$

단계 1.2

$\tan (x)$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \tan (x) \ln (\sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\tan (x) \ln (\sin (x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\tan (x) \ln (\sin (x))$ 로 바꿉니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\sin (x))]$

단계 3

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = \ln (\sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 4.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 5

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 6

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 7

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x) + \ln (\sin (x)) \sec^{2} (x))$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\tan (x) \csc (x) \cos (x)) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} (\ln (\sin (x)) \sec^{2} (x))$

단계 8.2

괄호를 제거합니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \tan (x) \csc (x) \cos (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x)) \sec^{2} (x)$

단계 8.3

항을 다시 정렬합니다.

$e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.4.1

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \ln (\sin (x))} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 와 $\ln (\sin (x))$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \csc (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.3

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.4

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.4.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ 와 $e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\sin (x)} \cos (x) \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.4.2

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\sin (x)}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x)}{\sin (x)} \tan (x) + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.5

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.6

조합합니다.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.7

$\cos (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.4.7.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cos (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.7.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sin (x)}{\sin (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.8

$\sin (x)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.4.8.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sin (x)}{\sin (x)} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.8.2

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\tan (x) \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.9

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \ln (\sin (x))} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.10

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 와 $\ln (\sin (x))$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \sec^{2} (x) \ln (\sin (x))$

단계 8.4.11

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \ln (\sin (x))$

단계 8.4.12

$\frac{1}{\cos (x)}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

단계 8.4.13

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

단계 8.4.14

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\cos^{2} (x)} \ln (\sin (x))$

단계 8.4.15

$\frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}}}{\cos^{2} (x)}$ 와 $\ln (\sin (x))$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.5.1

분수를 나눕니다.

$e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.5.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.5.3

$\ln (\sin (x))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\sin (x) \ln (\sin (x))}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.5.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.5.4.1

분수를 나눕니다.

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.5.4.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\frac{\ln (\sin (x))}{1} \tan (x)} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

단계 8.5.4.3

$\ln (\sin (x))$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} + \frac{e^{\ln (\sin (x)) \tan (x)} \ln (\sin (x))}{\cos^{2} (x)}$