미적분 예제

$y = \ln ({(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{9}{7}}$ , $g (x) = 3 x^{4} + 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x^{4} + 5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{9}{7}}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

단계 2.2

$n = \frac{9}{7}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {u_{2}}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x^{4} + 5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9 - 7}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

단계 6.2

$9$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9}{7} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

단계 7

$\frac{9}{7}$ 와 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} (\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x])$

단계 8

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7}$ 에 $\frac{1}{{(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

단계 9

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{2}{7}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

단계 10

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

지수를 더하여 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}}$ 에 ${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

${(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{9}{7 ({(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7}} {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{9}{7}})} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

단계 10.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{- \frac{2}{7} + \frac{9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

단계 10.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 9}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

단계 10.1.4

$- 2$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{\frac{7}{7}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

단계 10.1.5

$7$ 을 $7$ 로 나눕니다.

$\frac{9}{7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

단계 10.2

$7 {(3 x^{4} + 5 x)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 5 x]$

단계 11

합의 법칙에 의해 $3 x^{4} + 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 가 됩니다.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 12

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 13

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 14

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 15

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5 \cdot 1)$

단계 17

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{7 (3 x^{4} + 5 x)} (12 x^{3} + 5)$

단계 18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9}{7 (3 x^{4}) + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

단계 18.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.1

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{21 x^{4} + 7 (5 x)} (12 x^{3} + 5)$

단계 18.2.2

$5$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$

단계 18.3

$\frac{9}{21 x^{4} + 35 x} (12 x^{3} + 5)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{21 x^{4} + 35 x}$

단계 18.4

$21 x^{4} + 35 x$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.4.1

$21 x^{4}$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 35 x}$

단계 18.4.2

$35 x$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)}$

단계 18.4.3

$7 x (3 x^{3}) + 7 x (5)$ 에서 $7 x$ 를 인수분해합니다.

$(12 x^{3} + 5) \frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

단계 18.5

$12 x^{3} + 5$ 에 $\frac{9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(12 x^{3} + 5) \cdot 9}{7 x (3 x^{3} + 5)}$

단계 18.6

$12 x^{3} + 5$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$\frac{9 (12 x^{3} + 5)}{7 x (3 x^{3} + 5)}$