미적분 예제

$y = \ln (\frac{x}{x + 1})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{x + 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{x + 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{x}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

단계 2

$\frac{x}{x + 1}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

단계 3

$\frac{x + 1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

단계 4

$f (x) = x$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5.2

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5.3

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5.6

항을 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5.6.4

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 5.6.5

$\frac{x + 1}{x}$ 에 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.6.6

$x + 1$ 및 ${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.6.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

단계 5.6.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.6.6.2.1

$x {(x + 1)}^{2}$ 에서 $x + 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

단계 5.6.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

단계 5.6.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x (x + 1)}$