미적분 예제

$y = \ln (1 - x e^{- x})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 - x e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 - x e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 - x e^{- x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

단계 3

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5

미분합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.3

식을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1))$

단계 5.5

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x}))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x})) - e^{- x})$

단계 6.2

항을 묶습니다.

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단계 6.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (1 (x (e^{- x})) - e^{- x})$

단계 6.2.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$

단계 6.3

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(x e^{- x} - e^{- x}) \frac{1}{1 - x e^{- x}}$

단계 6.4

$x e^{- x} - e^{- x}$ 에 $\frac{1}{1 - x e^{- x}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x e^{- x} - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

단계 6.5

$x e^{- x} - e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.5.1

$x e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- x} x - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

단계 6.5.2

$- e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1}{1 - x e^{- x}}$

단계 6.5.3

$e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{- x} (x - 1)}{1 - x e^{- x}}$