미적분 예제

$y = \sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (x)}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (x)}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{3}}$ 로 바꿉니다.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.3

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.9

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.10

$\cos (x^{\frac{1}{3}})$ 와 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 2.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{\sin (x)}$ 을(를) ${\sin (x)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 3.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \cos (x)$

단계 3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \cos (x)$

단계 3.5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \cos (x)$

단계 3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \cos (x)$

단계 3.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \cos (x)$

단계 3.7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{- 2}{3}} \cos (x)$

단계 3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (x)$

단계 3.9

$\frac{1}{3}$ 와 ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cos (x)$

단계 3.10

$\frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$

단계 3.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

분수를 나눕니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 4.1.2

$\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ 로 변환합니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3} {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$

단계 4.1.3

$\frac{\cos (x)}{3}$ 와 ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

단계 4.2

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\csc (x)}^{\frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$